Effectif, fréquence et étendue

Dans ce cours de mathématiques et de statistiques, nous allons étudier la notion d’effectif, de fréquence et d’étendue. À la fin de cette leçon de géométrie, vous trouverez un exercices d’évaluation en ligne.

Qu’est-ce qu’un effectif ?

Il faut distinguer :

• L’ effectif total  : c’est le nombre de valeurs dans la série statistique.
• L’ effectif d’une valeur donnée: c’est le nombre de fois ou la valeur apparaît pour cette série.

Exemple 1:

• Prenons la série 2, 2, 4, 34, 11, 4, 2
• L’effectif total pour cette série est de 7 puisqu’il y a 7 valeurs (des nombres ici) .
• L’effectif de la valeur 2 est de 3 puis que la valeur 2 apparaît 3 fois dans la liste.
• Pour la valeur 4 c’est 2 , puisque le nombre 4 apparaît à 2 reprises.

Exemple 2 :

• Prenons la série:  bleu, bleu, vert, noir, rouge, vert , bleu, noir, noir
• L’effectif total pour cette série est de 9 puisqu’il y a 9 valeurs (Ici, des couleurs).
• L’effectif de la valeur bleu est de 3 puisque le bleu apparaît 3 fois dans la liste.
• Pour la valeur vert  c’est  2 , puisque le vert apparaît à 2 reprises.

Qu’est-ce qu’une fréquence ?

La fréquence d’une valeur donnée, c’est le quotient (la division) de l’effectif de la valeur par l’effectif total. Intuitivement, elle indique la proportion de la présence de la valeur dans la liste.

Exemples :

• Prenons la série: 2, 2, 4, 34, 11, 4, 2, 1, 9, 9
• L’effectif de la valeur 2 est de 3 puisque le nombre 2 apparaît 3 fois dans la liste.
• L’effectif pour cette série est de 10 puisqu’il y a 10 valeurs.
• La fréquence =  ( effectif de la valeur / effectif total )  = 3 / 10

Qu’est-ce que l’ étendue d’une série statistique ?

L’ étendue c’est la différence entre les valeurs extrêmes. Pour la calculer, il suffit de soustraire la plus grande valeur (maximum) et la plus petite valeur (mininum) de la série.

Exemples :

• Prenons la série: 2, 2, 4, 34, 11, 4, 2, 1, 9, 9
• Les valeurs extrêmes sont 34 (plus grande valeur) et 1 (la plus petite )
• L’étendue pour cette série est de 34 – 1 =33   (Différence entre les valeurs extrêmes).

L’étendue donne des informations sur ce qu’on appelle la dispersion de la série statistique :

• Si l’étendue est très petite, alors il y a peu d’écart entre toutes les valeurs de la série. Celle-ci est homogène.
• Si au contraire l’étendue est grande, alors l’écart est important entre la plus petite et la plus grande valeur.

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Population, caractère et valeurs

Dans ce cours de mathématiques , nous allons étudier les notions de population, caractère et valeurs. À la fin de cette leçon de géométrie, vous trouverez un exercice d’évaluation en ligne.

Rappel : qu’est-ce qu’une série statistique ?

Une série statistique (cf. leçon) est simplement une liste de mesures obtenues généralement lors d’une étude ou de relevés de mesures.

Pour avoir une série statistique, il suffit de produire une liste de nombres, ou de mesures.

Exemples de séries statistiques :

• Une liste avec l’âge de chaque garçon forme une série statistique : 4, 12, 7, 8

• La liste des couleurs favorites des garçons, forme aussi une série statistique: rouge, rouge, vert, noire

• Avec la nationalité des garçons, on obtient une autre série statistique: française, marocaine, allemande,  française

Qu’est-ce qu’une valeur ?

Chaque nombre ou mesure d’une série statistique s’appelle une valeur.  Attention, une valeur peut être un nombre, mais ce n’est pas obligatoirement le cas.

Exemples de valeurs d’une série statistique  :

• Les nombres « 6 » et « 7 » ou alors « 7 » sont des valeurs de la série: 4, 12, 7, 8, 8

• ″rouge″  et ″vert″ sont des valeurs de la série: rouge, rouge, vert, noire, rouge

• ″française″ ,″allemande″  sont des valeurs de la série: française, française, allemande,  française,  marocaine

Les valeurs extrêmes sont les valeurs minimum et maximum dans la série.

Exemple :

Dans la série 1, 5, 8, 9, 12, les valeurs extrêmes sont 1 (le minimum) et 12 (la valeur maximum) .

La population d’une série statistique : c’est quoi ?

La population est l’ensemble des personnes ou des animaux ou des choses qui sont étudiées. (Donc, pas  forcément des êtres humains !).

On se pose la question : « Sur qui porte l’étude ? Quelle personne, quel animal ou quelle chose ?».

Exemples de population :

• Si on note l’âge des garçons de la classe, la population c’est les garçons.
• Si on relève leur couleur favorite, la population c’est aussi les garçons.
• Si j’étudie le sommet des montagnes, la population c’est les montagnes
• Si je note la vitesse des voitures, la population c’est les voitures.

Qu’est-ce que le caractère d’une série ?

Le caractère d’une série statistique c’est ce qui est mesuré ou étudié pour la population.

On se pose la question «Sur quoi porte l’étude ? Qu’est-ce qui est étudié ?»

Exemples  :

• Si je note l’âge des garçons,  le caractère c’est l’âge.
• Si je relève leur couleur favorite, le caractère c’est leur couleur préférée.
• Si je mesure la hauteur des sommets de montagnes, le caractère c’est la hauteur.
• Si je mesure la vitesse des voitures, le caractère c’est la vitesse.

Qu’est-ce qu’un caractère discret ou continu ?

Si la valeur du caractère ne peut prendre qu’une série de valeurs isolées, définies à l’avance, on dit que le caractère est discret.

Si la valeur du caractère peut prendre une infinité de valeur comprise entre 2 nombres, on dit que le caractère est continu.

Exemples :

• L’âge des adolescents peut prendre qu’une valeur parmi 13, 14, 15, 16, 17, 18. C’est un ensemble limité (isolé) de 6 valeurs. L’âge donc un caractère discret
• En revanche, la vitesse rigoureusement exacte d’une voiture comprise entre 0 et 230 km/h est un ensemble infini de valeurs qui peuvent être 20 km/h mais aussi 68,1 km/h mais encore 137,121354 km/h . La vitesse est un caractère continu.

Qu’est-ce qu’un caractère quantitatif ou qualitatif ?

Un caractère peut être quantitatif si ses valeurs sont numériques.

Un caractère peut être aussi qualitatif si ses valeurs ne sont pas numériques.

Exemples :

• La taille est un caractère quantitatif, car c’est un nombre (une valeur numérique).

• La couleur préférée ou la nationalité sont des caractères qualitatifs car ce ne sont pas des nombres.

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Les séries statistiques

Dans ce cours de mathématiques nous allons parler des séries statistiques. Il s’agit d’une leçon d’introduction.

Qu’est-ce qu’une série statistique ?

Une série statistique est simplement une liste de mesures (qui provient généralement d’une étude).

Chaque mesure s’appelle une valeur. Une valeur peut être un nombre, mais ce n’est pas obligatoirement le cas.

Voici un exemple de série statistique :

• Il porte sur l’âge d’un groupe de garçons
• Voici la série :  6, 7, 8, 8, 8, 4, 15
• Les nombres « 6 » et « 7 » sont 2 valeurs de la série  « l’âge d’un groupe de garçon » .

Voici un autre exemple :

• rouge, rouge, vert, noire, rouge, bleu, noir
• C’est une série statistique portant sur « leur couleur préférée ».
• « rouge » et « vert » sont des valeurs de la série « leur couleur préférée ».

Comment la représenter ?

Il existe de plusieurs représentations possibles.

1)- Avec une liste de valeurs

La plupart du temps, on peut la représenter simplement avec une liste de valeurs. Généralement, pour plus de clarté, on sépare chaque valeur mesurée, par une virgule, ou un point-virgule, ou tout autre caractère de séparation comme l’espace.

Voici deux exemples :

• Age des garçons: 8, 4, 8, 8, 4, 15
• Leur couleur préférée : rouge, rouge, vert, noir, rouge, noir

2)- Avec un tableau

On peut aussi, positionner les nombres dans un tableau pour plus de clarté.

3)- Avec des graphiques

On peut aussi la représenter grâce à des graphiques  (Nous verrons cela dans une autre leçon.)

Ici, nous avons représenté une série de notes à l’aide d’un graphe.

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